opol 551 wyśw. 17-01-2021 14:23

1h/73

Dla jakich wartości parametru m: 

nierówność (m^2-1)*25^x-2(m-1)*5^x+2>0 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą? 
Podstawiamy t za 5^x, gdzie t>0. Widziałem już post Profesora, że funkcja może mieć 5 możliwości. Lecz moje pytanie brzmi, dlaczego jeśli jest parabolą to miejsca zerowe muszą być ujemne? Wiem, że przez podstawienie t musimy patrzeć tylko na prawą stronę wykresu ale czemu np. nie ma przypadku gdy miejsca zerowe są dodatnie i wierzchołek paraboli jest po prawej stronie? 

zadanie domowe funkcja rozszerzenie Dodaj post do ulubionych Poproś o pomoc
Zaloguj się lub zarejestruj, by móc dodawać komentarze.
... 17-01-2021 15:04

Zoffonek 17-03-2021 16:52

Mamy już funkcję f(t) = (m^2-1)*t^2-2(m-1)*t+2 >0, zakładamy więc, że f(t)>0 dla t>0. Rozpatrujemy przypadek gdzie mamy dwa miejsca zerowe(MZ) t1 i t2 oba >0 i nasze a>0, żeby parabola miała ramiona do góry. Rozważmy przedziały po prawej stronie wykresu:

1) (0;t1) - wszystko ładnie, każde t z tego przedziału jest >0 i f(t)>0, więc założenia spełnione

2) t1 - ok, podstawiamy do funkcji f i patrzymy co zastaniemy, wiedząc że t1 jest MZ to wiemy, że f(t1)=0, co zresztą można odczytać z wykresu, no ale f(t) miało być >0, a nie >=0 czyli musimy pożegnać ten przypadek i mamy dziedzinę t w (0;niesk)/{t1}, co już nam wskazuje że nie dla każdego t>0 mamy rozwiązanie, rozważmy jeszcze dalsze przypadki

3)(t1;t2) - zerkając na wykres widzimy że dla każdego t w tym przedziale f(t)<0, no i znów musimy się pożegnać z całym tym przedziałem, bo mieliśmy znaleźć f(t)>0, a nie mniejsze, więc kolejnemu przedziałowi mówimy pa i zostaje nam t w (0;t1) u <t2;niesk), dla każdego t w <t1;t2) nie mamy rozwiązań

4) t2 - analogicznie jak w (2), więc t2 też wyrzucamy z rozwiązań

5) (t2;niesk) - analogicznie do (1) zostawiamy ten przedział w spokoju bo się wszystko zgadza

Podsumowując: wyszło nam że dziedzina dla t to przedział (0;t1) u (t2;niesk), a miał nam wyjść przedział (0;niesk). Czyli taki przypadek nam odpada. Mówiąc prosto musimy szukać takich wykresów funkcji w których dla wszystkich argumentów > 0 "linia funkcji" będzie ciągła i zawsze ponad osią "t".

A co dla a<0?

 Analogicznie najlepiej narysować poglądowy wykres funkcji i od razu będzie widać, że nad osią "t" po prawej stronie wykresu mamy jedynie przedział (t1;t2), a nie (0;niesk) więc takie rozwiązanie również odpada

A gdyby t1 było = 0 ?

Wtedy dla a > 0 wypadł by przedział od (t1;t2) bo f(t) byłoby ujemne, a dla a < 0 wypadłby przedział (t2;niesk)

A gdyby t2 było = 0 to wówczas założenia są spełnione bo dla każdego t>0, f(t) biegnie sobie nad linią osią "t" a o to właśnie nam chodziło ;) reszta rozwiązań to przypadki gdzie t1 i t2 są < 0 i a >0 lub t0 <=0 i a>0 oraz gdy mamy do czynienia z prostą a nie parabolą, gdzie punkt przecięcia z osią "t" jest w miejscu <= 0 dla a > 0.