wiktor 721 wyśw. 22-02-2021 18:33

Grawitacja

Na biegunie pewnej planety ciało waży n razy więcej niż na jej równiku. Okres obrotu tej planety dookoła własnej osi wynosi T, a uniwersalna stała grawitacji G.

a) Oblicz gęstość tej planety, przyjmując, że jest ona jednorodną kulą.

b) Dwa ciała zostają wystrzelone pionowo(radialnie) odpowiednio z bieguna i równika tej planety. Oblicz stosunek prędkości pionowych, jakie należy nadać tym ciałom, aby każde z nich mogło opuścić planetę.

Proszę o wyjaśnienie tego zadania.

Fizyka grawitacja i kosmologia Dodaj post do ulubionych Poproś o pomoc
Zaloguj się lub zarejestruj, by móc dodawać komentarze.
s.gugula 23-02-2021 00:43

Siła nacisku danego ciała na biegunie to po prostu działająca na nie siła grawitacji równa GMm/R^2. Na równiku jest ona pomniejszona o wartość siły odśrodkowej wynikającej z ruchu obrotowego planety, a zatem jest to GMm/R^2 - mv^2/R. Możemy zatem zapisać, że GMm/R^2 = n*(GMm/R^2 - mv^2/R). Ponadto, wiedząc, że v = 2*pi*R/T możemy to wstawić to poprzedniego równania. Po odpowiednich przekształceniach wyliczymy wyrażenie M/R^3, będzie ono równe (o ile nie pomyliłem się w moich robionych dość pośpiesznie obliczeniach): M/R^3 = 4*pi*n / ( G*(n-1)*T^2 ).

Z kolei gęstość to masa przez objętość, a zatem M/ ((4/3)*pi*R^3) <- tu możemy wstawić wyliczone powyżej M/R^3 i mamy wynik zależny tylko od podanych G, n i T.

W pp b) rozumiem, że opuszczenie planety oznacza oddalenie się od niej na dowolnie dużą odległość. Dla bieguna będzie to zatem po prostu druga prędkość kosmiczna, natomiast jeśli chodzi o równik to należy zapewne przyjąć, że trzeba uwzględnić prędkość ciała wynikającą z samego obrotu planety. Warto w takim wypadku skorzystać po prostu z bilansu energetycznego - ciało na powierzchni planety ma jakąś energię mechaniczną (suma en. pot. i kinetycznej wynikającej z owego ruchu obrotowego planety), a w nieskończoności ma mieć energię zerową. Różnica tych energii stanowi energię jaką należy mu dostarczyć, co możemy przeliczyć na prędkość.