Michaxd03 282 wyśw. 22-11-2021 19:18

Praca domowa 11, Zadanie 1, podpunkty d i f

udowodnij, że :
D) jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 3, to 24|p^2 -25
f) dla każdej liczby pierwszej k>3, 576|[(k-1)^2 * (k+1)^2]



Przekształciłem tezę do 24|(p-1)(p+1) dla podpunktu d, rozpisałem 3 kolejne liczby pierwsze (5,7, 11) i widząc, że zależność zachodzi napisałem po prostu "iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych większych lub równych 4, znajdujących się obok liczby pierwszej jest zawsze podzielny przez 24", ale mam wrażenie że to nie jest żadne uzasadnienie. Nie wiem na jaką inną zależność mogę się powołać, bo to, że jedna jest podzielna przez 2 a druga przez 4 nie wystarcza na udowodnienie podzielności przez 24. 
W podpunkcie f jest analogicznie. Widzę, że ta zależność zachodzi bo najmniejszy możliwy wynik to (5-1)^2 * (5+1)^2 czyli właśnie 576, ale znowu nie potrafię znaleść zależności o którą mógłbym się oprzeć. 
Jak można to uzasadnić?


matematyka rozszerzona praca domowa podzielność liczby pierwsze Dodaj post do ulubionych Poproś o pomoc
Nemo2000 24-11-2021 13:58

"iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych większych lub równych 4, znajdujących się obok liczby pierwszej jest zawsze podzielny przez 24"

To nie jest prawda, bo np. 24 nie dzieli 8 * 10 (2 kolejnych liczb parzystych)

"jedna jest podzielna przez 2 a druga przez 4 nie wystarcza na udowodnienie podzielności przez 24. " musisz jeszcze udowodnić, że liczba jest podzielna przez 3  ( skoro masz już jej 2 dzielniki 4 i 2 to dzieli się przez 8) 8*3 =24

Sp1 dlaczego (p-1)(p+1) dzieli się przez 3

w (p-1)p(p+1) jest co najmniej jedna liczba, która dzieli się przez 3, bo całe wyrażenie dzieli się przez 3! kiedy mamy do czynienia z 3 kolejnymi liczbami całkowitymi. Wiemy, że 3 nie dzieli p, bo p>3 i jest liczbą pierwszą. Więc 3|(p-1)(p+1) i 8|(p-1)(p+1) więc 24|(p-1)(p+1) ckd


Nemo2000 24-11-2021 14:05

Sp 2

liczbę pierwszą można zapisać jako liczbę, która nie dzieli się przez 3 

(p-1)(p+1)

p = 3k+1

z (p-1) 3 |W

p=3k+2

z p+1 3 |W


3|W i 8|W => 24|W ckd


z (f)

to tak samu udowadniasz, że 8|(k-1)(k+1) => 64|(k-1)^2(k+1)^2

3|(k-1)(k+1) => 9|(k-1)^2(k+1)^2

z tąd 9 i 64 | wyrażenie => 576| (k-1)^2(k+1)^2