lodowcowy rowerzysta 415 wyśw. 08-03-2022 13:18

Monotoniczność szybkie pytanie

(zadanie z drugiego tomu A.Kiełbasy)


Mam pytanie do podpunktu a , do przedziału x (0,3). Czy zawsze w tego typu sytuacjach gdzie mamy ciągłą funkcje, której w współczynnik kierunkowy jest dodatni ale w jednym punkcie ma wartość 0 piszemy że cała funkcja jest rosnąca? Czy jeśli w podpinkcie a, napisałbym, że funkcja w przedziale x (0,3) jest rosnąca, ale z wyłączeniem x=2, to też by było dobrze? Chodzi mi o to, czy w tym punkcie, w którym wspł. kier. jest zerowy funkcja jest stała czy jednak rosnąca. Czy w ogóle  możemy mówić o monotoniczności w kontekście jednego punktu? Jak to wygląda?

Przedziały liczbowe Dodaj post do ulubionych Poproś o pomoc
viGor 08-03-2022 18:39

Weźmy dla przykładu funkcję x^3, jej pochodna to 3x^2. Dla argumentu 0, pochodna się zeruje, ale "w tej okolicy" nie zmienia znaku, zatem nie zmienia się jej monotoniczność, więc jest rosnąca w tym punkcie(jest to tzw. punkt przegięcia).


lodowcowy rowerzysta 09-03-2022 11:12

Ale np w zadaniu 505 (o ile je dobrze zrobiłem) trzeba policzyć dla jakich "a" pochodna jest większa od zera. No właśnie większa, a nie większa lub równa. Czyli jakbyśmy sprawdzali w ten sposób funkcję z zad 503 to by chyba przecież wyszło właśnie bez x=2.



viGor 10-03-2022 14:04

być może to dlatego, że w moim przykładzie funkcja nie ma ekstremum w tym miejscu[mam na myśli, że jakby w tym punkcie nie dochodzi do zmiany monotoniczności], jest jeszcze ta kwestia, którą Ci opisywałem pod innym postem[TUTAJ]. Niestety nie potrafię inaczej odpowiedzieć


jarosinski 11-03-2022 21:27

Funkcja będzie rosnąca w całym przedziale (0; 3). Wynika to z przebiegu zmienności funkcji tak jak napisał @vigor. 

Poza tym akademicka def. funkcji rosnącej to:

Jeżeli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a,b) oraz jej pochodna jest w każdym punkcie tego przedziału dodatnia z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których jest równa zeru, to funkcja jest w tym przedziale rosnąca


lodowcowy rowerzysta 12-03-2022 09:43
Ok, ale czemu w takim razie w zadaniu 505 (w komentarzu wyżej) poprawna odpowiedź wychodzi po rozwiązaniu nierówności, że pochodna ma być większa od zera (a nie większa lub równa zero) ? 

jarosinski 14-03-2022 21:06

A dlaczego miałaby być większa bądź równa 0? 

Zacytuję raz jeszcze: "jej pochodna jest w każdym punkcie tego przedziału dodatnia z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów".

Zatem pochodna powinna być >0, a w punktach w których jest równa 0 powinno się sprawdzić zmianę znaku pochodnej