Zadanie - termodynamika

Wg mnie należałoby do tego podejść w następujący sposób: w jednym cyklu pompa wyprowadza taką ilość powietrza, która przy danym ciśnieniu zajmuje 200 cm^3 objętości (czyli jest to 0,2 litra). To skutkuje tym, że w balonie znajduje się po takim jednym cyklu mniej powietrza i zakładając, że temperatura się nie zmienia (a nic tutaj o niej nie mamy w treści powiedziane, więc wydaje się, że jest to jak najbardziej racjonalne założenie), maleje również ciśnienie tego powietrza, zgodnie z równaniem Clapeyrona: pV = nRT. Czyli załóżmy, że początkowe ciśnienie to p = nRT/V. Po jednym cyklu wypompowujemy 0,2 litra powietrza, czyli tak naprawdę 1/5 całego powietrza zawartego w balonie. A zatem po jednym cyklu liczba moli powietrza zmniejszyła się z n do (4/5)n, wobec czego ciśnienie zgodnie z równaniem Clapeyrona również zmniejszyło się do (4/5)p. Jest tak, bo objętość powietrza w balonie się nie zmienia - powietrze jest przecież gazem (ściśle rzecz ujmując mieszaniną gazów, ale to nie zmienia postaci rzeczy), więc zajmuje całą objętość naczynia, w którym się znajduje, a więc po każdym cyklu powietrze i tak dalej zajmuje cały zbiornik o pojemności 1 litra. No i teraz całą operację powtarzamy. A zatem po drugim cyklu liczba moli powietrza będzie wynosiła (4/5)*(4/5)n (bo po drugim cyklu zostaje 4/5 tego co było po pierwszym cyklu), a zatem ciśnienie zmaleje do wartości (4/5)*(4/5)p. I tak, każdorazowo po każdym cyklu przemnażamy to przez (4/5), mamy więc tu do czynienia z takim ciągiem geometrycznym. I teraz trzeba byłoby obliczyć, po którym cyklu ciśnienie spadnie już do wartości 13,3 Pa, wiedząc, że ciśnienie początkowe wynosiło p = 101080 Pa. Czyli równanie wyglądałoby tak: 13,3 Pa = (4/5)^k * 101080 Pa, gdzie k to liczba cykli - teraz trzeba z tego równania wyliczyć k. Można to robić "na pałę", czyli przemnażać 101080 na kalkulatorze tyle razy aż dostaniemy 13,3 albo bardziej matematycznie, wykorzystując logarytm - dostaniemy zatem równanie: $$ (\frac{4}{5})^k = \frac{13,3}{101080} => (\frac{4}{5})^k = \frac{1}{7600} $$ a zatem $$ k = \log_{\frac{4}{5}} \frac{1}{7600} \approx 40,05 $$ a zatem odpowiedź powinna brzmieć, że należałoby wykonać 41 pełnych cykli (bo po 40 cyklach jeszcze ciśnienie jest nieco wyższe).

Na dzisiejszych zajęciach w szkole rozwiązywaliśmy to zadanie i mój nauczyciel rozwiązał to w taki sposób:

p0 - ciśnienie początkowe (101080 Pa)

pk- ciśnienie końcowe (13,3 Pa)

V- objętość balonu

Vp - objętość pompy

p0*V=p1(V+Vp)

p1*V=p2(V+Vp)

pk=po*(V/V+Vp)^n 

Z takiego równania wyjdzie wynik n=49,01178 czyli 50

Wyniki wychodzą różne, a mi obydwa sposoby wydają się poprawne. Czy mogłabym prosić o wytłumaczenie różnicy pomiędzy nimi? 

Różnica wynika z tego, że w rozwiązaniu przedstawionym przez nauczyciela uwzględniony został fakt, że jeśli podłączamy pompę do balona, to objętością całego układu jest objętość balona + objętość samej pompy. Stąd w tym rozwiązaniu zamiast tego 4/5 dostajemy tak naprawdę mnożenie przez 5/6 (bo bierzemy 0,2 litra z całej objętości 1,2 litra, czyli zostaje 1 litr, czyli 5/6 całości), a reszta pozostaje bez zmian. Jeśli faktycznie cała objętość robocza pompy jest w ciągu całej jej pracy połączona ciągle z objętością balonu, to rzeczywiście takie podejście jest nieco bardziej sensowne niż moje, bo ja zaniedbałem w nim fakt samego połączenia pompy (tu mój błąd). Jest jednak pewne ale...

Mianowicie, tak naprawdę to objętość powietrza w pompie podczas pompowania płynnie się zmienia (bo mamy do czynienia z ciągłym ruchem tłoka), więc w rzeczywistości zapewne poprawną odpowiedzią byłby jakiś wynik pomiędzy tymi dwoma uzyskanymi przeze mnie i nauczyciela, przy czym jego dokładne obliczenie nie jest możliwe bez wiedz na temat tego jak ten ruch się odbywa.

Czyli podsumowując różnica jest taka, że w moim przypadku przyjęte jest takie podejście, że pompa jest połączona z balonem w taki sposób, że jej tłok jest ciągle maksymalnie ściśnięty, a w przypadku nauczyciela takie, że tłok jest ciągle maksymalnie odciągnięty. Oba podejścia możnaby argumentować, a tak jak wspomniałem rzeczywisty wynik byłby gdzieś "pomiędzy".