san2 473 wyśw. 17-03-2022 17:45

Nowa Era (Teraz matura) - zadanie 14c, arkusz 7

Niech n⩾5 będzie liczbą naturalną. Rozważamy n-wyrazowe ciągi o wyrazach A, B, C, D, E. Ile jest wszystkich takich ciągów, w których: c) każde pięć kolejnych wyrazów jest różnych?

W kluczu podana jest odpowiedź 120 wraz z komentarzem, że "(...) pięć początkowych wyrazów wyznacza cały ciąg (...)" Rozumiem, że jest to po prostu ułożenie pięciu wyrazów na pięciu miejscach, ale przecież ciąg może mieć więcej niż tylko pięć wyrazów bo n jest większe od lub równe 5 - chyba należy rozróżnić np. ciągi ABCDE, ABCDEA, ABCDEAB itd. itd.?

kombinatoryka Dodaj post do ulubionych Poproś o pomoc
Zaloguj się lub zarejestruj, by móc dodawać komentarze.
viGor 19-03-2022 09:52

Należy tutaj zauważyć prawidłowość - zróbmy to na twoim przykładzie:

"chyba należy rozróżnić np. ciągi ABCDE, ABCDEA, ABCDEAB itd. itd.?":

Gdy ustalimy pierwsze 5 wyrazów, to każdy kolejny wyraz można dołożyć na jeden sposób - weźmy nasze pięć wyrazów, i ustalmy z nich przykładowy pięciowyrazowy ciąg, tak jak u Ciebie w przykładzie: ABCDE; Gdy chcemy dołożyć kolejny wyraz(szósty), musi on być taki jak pierwszy wyraz, bo rozróżniamy każde kolejne 5 wyrazów, zatem dostępny będzie tylko ten jeden. Dokładając następny element(siódmy), musi on być taki sam jak drugi wyraz- znów tylko ten jest dostępny. Gdyby kontynuować dokładanie po jednym wyrazie np. do 10 wyrazu, to wyrazy od 6-10 będą takie same jak wyrazy od 1-5. Reasumując - jeśli chcemy dołożyć kolejny n-ty wyraz, to musi on być taki sam jak n-5 wyraz. Dlatego ciąg pierwszych 5-ciu wyrazów można ustalić na 5! sposobów, a każdy kolejny można dodać na 1 sposób => 5! * 1 = 120.

Starałem się jak najprzejrzyściej to opisać , daj znać czy wytłumaczenie jest zrozumiałe :)