Zadanie 6

Rozumowanie prowadzące do tego wniosku składa się z dwóch kroków. Po pierwsze, przyjmijmy, że pierwsza, nieprzecięta sprężyna ma współczynnik sprężystości równy k. Musimy teraz zastanowić się jaki współczynnik sprężystości ma połowa takiej sprężyny. Możemy to wywnioskować na podstawie tego, że wiemy, że jeśli teraz z powrotem połączymy szeregowo ze soba takie dwie połówki całej sprężyny, to ponownie dostaniemy całą sprężynę. Należy tutaj również wiedzieć (albo sobie to wyprowadzić), że w przypadku szeregowego połączenie sprężyn sprawa wygląda tak jak w przypadku równoległego połączenia oporników, czyli odwrotnośc zastępczego współczynnika sprężystości jest równa sumie odwrotności składowych współczynników. Zakładając zatem, że współczynnik sprężystości połowy sprężyny to jakieś kp, możemy zapisać, że: 1/k = 1/kp + 1/kp i stąd dostajemy kp = 2k. A zatem oznacza to, że współczynnik sprężystości połowy sprężyny jest dwa razy większy niż całej sprężyny. No i teraz zastanówmy się jak sytuacja wygląda w przypadku tego drugiego układu. Aby to poprawnie przeanalizowac nalezy zobaczyć jaka jest siła wypadkowa działająca na klocek w jakimś jego położeniu. Na rysunku poniżej przedstawiłem to dla przykłądowego położenia klocka przy jego wychyleniu w prawo:

Widzimy, że siła wypadkowa działająca na klocek to suma sił spręzystości pochodzących od obu sprężyn i ponadto zmiana długości dla obu sprężyn jest taka sama (tyle, że jedna się wydłuża, a druga skraca, ale pod kątem wartości siły sprężystości to nie ma to oczywiście znaczenia). Możemy założyć, że taki ukłąd sprężyn moglibyśmy zastąpić jedną o w współczynniku sprężystości zastępczym kz (jest to na rysunku) i z obliczeń widzimy, że kz = k1 + k2, gdzie k1 i k2 to współczynniki sprężystości tych sprężyn składowych. W przypadku naszego zadania zarówno k1 jak i k2 to obliczone wcześniej 2k, zatem kz = 2k + 2k = 4k i stąd właśnie bierze się to wspomniane 4k ;)