Trudnawe, acz ciekawe zadanko z bryłki sztywnej

Jak rozumiem bryłą ma pozostawać w spoczynku, co oczywiście nie miałoby miejsca gdyby nie lina, która utrzymuje całość. Tutaj należy jak w każdym przypadku bryły sztywnej pozostającej w spoczynku wykorzystać równowagę sił działających na ciało (to daje nam brak ruchu postępowego) oraz równowagę momentów sił działających na to ciało (to daje nam brak ruchu obrotowego). Należy oczywiście zauważyć, że siła naciągu liny działająca na pręt w punkcie D jest zwrócona w prawo (gdyby jej nie było to te pręty "rozjechałyby się" na boki) - oczywiście analogicznie siłą naciągu nici działająca na przeciwległy punkt na drugim końcu liny jest zwrócona w lewo (można sobie przyjąć, że tam jest np. jakiś punkt E). I teraz trzeba jeszcze pamiętać, że w punktach A i B będą działały zwrócone pionowo w górę siły reakcji podłoża. Więc jeśli chodzi o pierwszy warunek, czyli równowagę sił to możemy zapisać, że: siły ciężkości prętów + 500 N = siły reakcji podłoża. To jest oczywiście równość sił w kierunku pionowym, jeśli chodzi o kierunek poziomy, to równoważyć się muszą te dwa naciągi pochodzące od liny, ale to chyba oczywista sprawa. No i teraz trudniejsza rzecz, trzeba bowiem zapisać równowagę momentów sił względem jakiegoś wybranego punktu. Punkt można wybrać dowolnie (bo przecież skoro nie ma obrotu, to figura nie obraca się względem żadnego punktu), najwygodniej wybierać jest z reguły taki punkt, w którym zaczepionych jak najwięcej sił, żeby jak najwięcej momentów od razu się zerowało. Tutaj nie ma takiego "uprzywilejowanego" pod tym kątem punktu, więc trzeba by po prostu któryś z nich wybrać i dla niego zapisać odpowiednie równanie (wybór punktu C okaże się nie prowadzić do rozwiązania, bo względem niego wszystko jest symetryczne i wartość siły naciągu nie ma znaczenia). Zostaje tak na dobrą sprawę albo punkt A albo punkt D (punkt B jest symetryczny do A, więc dostaniemy to samo równanie co dla A). Więc np. względem punktu A, po jednej stronie równania mamy momenty próbujące obrócić bryłę zgodnie z ruchem wskazówek zegara, czyli momenty sił: naciągu w punkcie D, ciężkości lewego i prawego pręta, siły 500 N, a po drugiej stronie równania momenty próbujące obrócić bryłę w drugą stronę, czyli momenty sił: naciągu w punkcie symetrycznym do D i reakcji w punkcie B. Z tego równania obliczymy wartość sił naciągu nici ;)

Przeliczyłem to zadanie zgodnie z Pana wskazaniami dla punktu A (w punkcie D siły naciągu nici nie dadzą żadnego momentu, więc nie będą stanowiły żadnej niewiadomej w równaniu momentów, w związku z czym nie będzie dało się ich obliczyć). Poniżej zamieszczam obliczenia.

Obliczyłem to kilkukrotnie z różnymi dokładnościami i wyniki za każdym razem zmieniały się. Z racji tego, że w odpowiedziach do tego zadania wyniki są bardzo zbliżone, ciężko było jednoznacznie stwierdzić, która odpowiedź jest prawidłowa. W moich obliczeniach wyszło mi 350N, co nie pokrywa się z żadną z odpowiedzi. Z tego powodu postanowiłem obliczyć wynik z możliwie największą dokładnością, używając MS Excela. Otrzymałem ciekawy rezultat - siła naciągu jest równa 0... Poniżej zamieszczam link do arkusza kalkulacyjnego, w którym wykonałem niezbędne obliczenia z większą dokładnością niż na przesłanym rysunku: 

Zadanko.xlsx - link

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadanka ;D

OK, przyjrzałem się temu trochę głębiej i mam następujące wnioski: mianowicie faktycznie rozpatrywanie tego względem punktu D nie ma oczywiście sensu, bo jak sam zauważyłeś, momenty sił naciągu się zerują. Nie analizowałem dokładnie tego co masz w arkuszu kalkulacyjnym, ale zakładam, że wszystko jest tam poprawnie, ponieważ przy założeniach, które do tej pory poczyniliśmy faktycznie ten naciąg powinien wyjść zero ;) a jest tak dlatego, że trochę milcząco, ale jednak, przyjęliśmy, że kąt pomiędzy tymi dwoma prętami połączonymi ze sobą w punkcie C jest stały. Mogłoby się wydawać, że nigdzie tak nie zakładaliśmy, ale zapisując równanie na równowagę momentów w taki sposób jak my to do tej pory zrobiliśmy, przyjmujemy, że analizujemy te dwa pręty sztywno połączone jako jedną bryłę sztywną. A jeśli tak, to oznacza to, że kąt między nimi jest ustalony (w bryle sztywnej odległości między punktami składającymi się na tę bryłę nie zmieniają się w czasie), a zatem już z założenia nasze pręty nie mogą się "rozjechać", a zatem nie jest potrzebny żaden naciąg, aby utrzymać całość w spoczynku. Więc tak z formalnego punktu widzenia, to te naciągi powinny móc tam mieć nawet dowolne wartości i wszystko by się zgadzało. Należy zatem przyjąć dodatkowe założenie, że każdy z tych prętów rozpatrujemy jako osobne bryły sztywne! Oczywiście wystarczy przeanalizować jeden z nich, bo w przypadku drugiego sytuacja jest symetryczna. A zatem trzeba teraz jeszcze rozpisać dla prawego pręta równowagę momentów działających na niego sił - najlepiej zrobić to względem punktu C. Dlaczego? A dlatego, że jeśli rozpatrujemy teraz te dwa pręty jako dwie osobne bryły, to pojawia się równiez jeszcze jakaś siła ich wzajemnego oddziaływania w punkcie C, którą musielibyśmy teraz osobno liczyć, więc chyba łatwiej jest po prostu zapisac równowage momentów względem punktu C i problem tych sił nam odpada. Jeśli faktycznie zatem chcemy to zrobić względem punktu C, to trzeba najpierw z tego pierwotnego równania, które już sobie zapisaliśmy wcześniej (czyli momenty wszystkich sił względem punktu A muszą się równoważyć albo wprost z równowagi wszystkich sił w pionie) obliczyć siłę reakcji działającą na pręt po prawej w punkcie B - powinno wyjść 600 N. A następnie należy wykorzystać to drugie równanie na równowagę momentów sił działających na prawy pręt względem punktu C i z niego obliczyć siłę naciągu liny, zrobiłem to tak trochę na szybko, ale wygląda na to, że jest ok, bo dokładnie trafiłem w jedną z odpowiedzi, bo wyszło mi 366 N.

Mam też dla Ciebie bardzo pomocną wskazówkę w kontekście liczenia takich momentów, gdy mamy różne kąty. Bardzo się to przydaję, aby nie zakopać się w obliczeniach tych sinusów, w tej całej trygonometrii itp. Mianowicie zauważ, że moment siły F policzony jako r1 x F to jest dokładnie to samo gdybyśmy to policzyli jako r2 x F, a o ile łatwiejsze i szybsze jest to obliczenie, bo nie ma już żadnych sinusów dziwnych kątów ;) - przedstawiłem to skrótowo na rysunku poniżej: