siema 329 wyśw. 17-04-2023 23:23

zadanie 8 arkusz 16


Mam pytanie czy prawdą jest to co zapisałem ze iloczyn kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych zawsze jest podzielny przez 3 do 2 czyli 9??? 
i potem podzielić liczby na 4 podzbiory i udowodnić podzielność przez 4 co dają łączenie dowód podzielności przez 36 

arkusz xvi Dodaj post do ulubionych Poproś o pomoc
Zaloguj się lub zarejestruj, by móc dodawać komentarze.
Zahhak 19-04-2023 09:33

n^8 - 2n^6 + n^4 = (n^4)^2 - 2n^4 + n^4

Możemy zauważyć, że to jest kwadrat różnicy n^4 - 1, ponieważ możemy zapisać (n^4)^2 jako (n^4)^2 = (n^4 - 1 + 1)^2, a następnie skorzystać z wzoru (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, gdzie a = n^4 - 1 i b = 1. Teraz możemy uprościć wyrażenie:

(n^4 - 1 + 1)^2 - 2n^4 + n^4

(n^4 - 1)^2 + 2(n^4 - 1) + 1 - 2n^4

(n^4 - 1)^2 + 2(n^4 - 1) + 1 - 2(n^4)

Teraz możemy zauważyć, że wyrażenie (n^4 - 1)^2 + 2(n^4 - 1) jest podzielne przez 36, ponieważ jest to suma dwóch liczb podzielnych przez 36. Ponadto, wyrażenie -2(n^4) jest również podzielne przez 36, ponieważ jest to iloczyn liczby całkowitej -2 i kwadratu liczby całkowitej n^4.

Z powyższych kroków wynika, że wyrażenie n^8 - 2n^6 + n^4 jest postaci (n^4 - 1)^2 + 2(n^4 - 1) - 2(n^4), które jest sumą dwóch liczb podzielnych przez 36 oraz liczby podzielnej przez 36. Zatem całe wyrażenie jest podzielne przez 36 dla każdej liczby całkowitej n, ponieważ suma liczb podzielnych przez 36 jest także liczbą podzielną przez 36.