Kurczab zad.2.181

Tutaj wystarczy obliczyć granicę:

na przykładzie podpunktu 
b)

Jeżeli wyciągniemy n^2 przed nawias zarówno w liczniku i mianowniku możemy zauważyć, że -3n/n^2 będzie zbiegać do zera oraz 8/n^2 również. Pozostanie nam zatem 5/4 czyli 1 i 1/4.

Dziękuję:) Mam jeszcze jednak pytanie do podpunktu b, bo chciałam tak przeprowadzić dowód, ale nie wiem co powinnam zrobić dalej w takim przypadku?

Należy teraz wyznaczyć "n" w zależności od wartości epsilon.

A następnie dobrać takie N, żeby dla każdego n>N, nierówność była spełniona.

Proszę Pana, a czy takie dokończenie zadania jest poprawne? I czy można napisać między tezą a nierównością |cn - 1 ¼|<ε znak równoważności na początku zadania?

Nie można w ten sposób podstawić n^3 podczas przekształcenia ponieważ jest to nieodwracalne przekształcenie. 

Jezeli chodzi o znak rownowaznosci to można, ale trzeba dopisac kwantyfikatory z definicji granicy

W takim razie jak powinnam przekształcić tę nierówność, żeby otrzymać n po jednej stronie? Próbowałam na różne sposoby, ale niestety nie udaje mi się i proszę o pomoc

Np. w ten sposób.

Dziękuję Panu bardzo:) Mam tylko kilka pytań:
Skąd jest 1 w N=n1 + 1?
Dlaczego n2=3+√169-128ε nie dzieli się na 8ε tak jak n1?
Dlaczego końcowo n ∈ (N,+∞) ∩ (n2, +∞)?

1)
Tam jest N= n2+1 (to +1 można pominąć, jest tylko po to aby ewentualnie powiększyć N jeśli pasują nam trochę większe)
2) Powinno się dzielić

3) Chodzi o to że biorąc każdy n większy N jest spełniona nierówność |c_n-5/4] < E bo wiemy że n należy do (N, +niesk) bo zawiera się w (n2; +niesk) co jest wynikiem naszego obliczonego wcześniej rozwiązania nierówności

Dziękuję, już rozumiem:)