zietosz 33 wyśw. 25-11-2025 22:42

Zadanie domowe 10 podpunkt d

Witam, treść zadania jest następująca:
Jeśli a, b > 0 oraz a + b = 1, to 1/a + 1/b >= 4.

Pomnożyłem przez ab (oba nie mogą być zerem) i doszedłem do nierówności 1 - 4ab >= 0.
W związku z tym, że a, b > 0 oraz a + b = 1 wiem, że zarówno a, jak i b należą do przedziału (0, 1).
Czy w tym momencie mogę zakończyć dowód? Bo jakby, to już jest oczywiste, że maksymalną wartość z przemnożenia tych dwóch wartości będzie dla 1/2, wtedy 1 - 4*1/2*1/2 = 1 - 1 = 0. Więc właściwe pytanie brzmi, czy jeśli zapiszę, że a i b należy do przedziału (0, 1), to w związku z tym ta nierówność będzie zawsze spełniona? Pozdrawiam! 

Matematyka dowodzenia Dodaj post do ulubionych Poproś o pomoc
Zaloguj się lub zarejestruj, by móc dodawać komentarze.
Szymon_L 26-11-2025 11:12

Nie możesz tak zrobić, ponieważ nie jest to już równoważne przekształcenie tezy (korzystasz z założenia, że liczby te są dodatnie). Równoważne przekształcenie tezy jest tylko wtedy kiedy dla każdych liczb rzeczywistych jest to prawda (czyli inaczej mówiąc nie możesz korzystać z założenia)