Wiktoria 140 wyśw. 03-02-2026 18:15

Zadanie z matury próbnej nowej ery

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) umieszczono kwadrat ABCD. Punkt M=(-1,2) jest środkiem boku AB, a punkt N=(3,4) jest środkiem boku BC tego kwadratu.

Długość boku kwadratu ABCD jest równa:

A. 2 pierwiastki z 5

B. 2 pierwiastki z 10

C. 5 pierwiastków z 2

D. 10 pierwiastków z 5

Jak policzyć to zadanie? Od czego wogóle zacząć? Miałam parę podejść ale za każdym końcowo nic mi nie wychodzi :(

Matura próbna nowa era matura geometria analityczna geometria Dodaj post do ulubionych Poproś o pomoc
Zaloguj się lub zarejestruj, by móc dodawać komentarze.
jarosinski 04-02-2026 22:25

Spróbuj podejść do tego wykorzystując wektory.

M jest środkiem boku AB, a N jest środkiem boku BC czyli

M= (A+B)/2, N=(B+C)/2 

W kwadracie wektory AB i BC są prostopadłe, oraz mają tę samą długość (bo to długość boku) .

Możemy opisać wektory AB = u, BC = v, |u| = |v| = s oraz u prostopadłe do v

Wtedy B=A+u oraz C=B+v = A+u+v 

Teraz M i N można wyrazić przez A oraz wektory u i v

Zapiszmy M= (A+A+u)/2 = A+u/2

N = (A+u+A+u+v)/2 = A+u+v/2

Teraz wektor MN = N-M = (u+v)/2

czyli u+v=2MN

Teraz wyciągamy z tego długość boków:

Dla prostopadłych wektorów tej samej długości s

|u+v|^2=s^2+s^2=2s^2

więc 

|u+v|=pierwiastek z 2 * s czyli s=|u+v|/pierwiastek z 2

A że u+v = 2MN to  s = pierwiastek z 2 * |MN|


Pozostało podstawić dane M oraz N i wyliczyć wektor MN i długość |MN| i ostatecznie s