aksjomat zadanie 10 arkusz 3

Przesyłam rozwiązanie:
- Wykorzystamy własność, że trójkąty o tej samej wysokości mają pola proporcjonalne do długości odpowiednich podstaw.

W trójkącie ABC punkt D leży na boku AB i zachodzi AD:DB = 1:2. Punkt E leży na boku AC i zachodzi AE:EC = 2:1. Proste CD i BE przecinają się w punkcie F.

Chcemy wykazać, że pole czworokąta ADFE stanowi 2/7 pola trójkąta ABC.

Etap 1: Porównanie pól trójkątów ACD i ABC

Ponieważ AD:DB = 1:2, to cały bok AB jest podzielony na 3 równe części, więc AD/AB = 1/3.

Trójkąty ACD i ABC mają wspólny wierzchołek C, a ich podstawy AD i AB leżą na tej samej prostej. Mają więc tę samą wysokość opuszczoną z punktu C. Zatem ich pola są proporcjonalne do długości podstaw:

P(ACD) / P(ABC) = AD / AB = 1/3.

P(ACD) = 1/3 P(ABC).

Etap 2: Oznaczenie pola trójkąta CEF

Niech:
P(CEF) = x.

Ponieważ punkt E dzieli bok AC w stosunku AE:EC = 2:1, to trójkąty AEF i CEF mają wspólną podstawę FE, a ich trzecie wierzchołki A i C leżą na jednej prostej AC. Zatem ich pola są proporcjonalne do odcinków AE i EC, czyli:

P(AEF) : P(CEF) = AE : EC = 2 : 1.

Skoro P(CEF) = x, to:
P(AEF) = 2x.

P(ACF) = P(AEF) + P(CEF) = 2x + x = 3x.

Etap 3: Wyznaczenie stosunku CF:FD

Rozważmy trójkąt ACD. Prosta BE przecina bok AC w punkcie E, bok CD w punkcie F oraz przedłużenie boku AD w punkcie B. Z twierdzenia Menelaosa dla trójkąta ACD otrzymujemy:

AE/EC * CF/FD * DB/BA = 1.

Podstawiamy dane:
AE/EC = 2/1,
DB/BA = 2/3.

Dostajemy:
2 * CF/FD * 2/3 = 1.

4/3 * CF/FD = 1,
CF/FD = 3/4.

CF : FD = 3 : 4.

Etap 4: Porównanie pól trójkątów ACF i ADF

Trójkąty ACF i ADF mają wspólną wysokość opuszczoną z punktu A na prostą CD, ponieważ ich podstawy CF i FD leżą na tej samej prostej CD. Dlatego ich pola są proporcjonalne do długości tych podstaw:

P(ACF) : P(ADF) = CF : FD = 3 : 4.

Wiemy już, że:
P(ACF) = 3x

Zatem z proporcji 3x : P(ADF) = 3 : 4 wynika, że:
P(ADF) = 4x

Etap 5: Obliczenie pola czworokąta ADFE

Czworokąt ADFE składa się z dwóch trójkątów: ADF oraz AEF, więc:

P(ADFE) = P(ADF) + P(AEF) = 4x + 2x = 6x.

Z kolei trójkąt ACD składa się z trójkątów ADF, AEF i CEF, więc:

P(ACD) = P(ADF) + P(AEF) + P(CEF) = 4x + 2x + x = 7x.

Stąd:
P(ADFE) / P(ACD) = 6x / 7x = 6/7.

Etap 6: Porównanie z polem trójkąta ABC

W punkcie 1 pokazaliśmy, że:
P(ACD) = 1/3 P(ABC).

Zatem:
P(ADFE) = 6/7 P(ACD) = 6/7 * 1/3 P(ABC) = 2/7 P(ABC).

A więc:
pole czworokąta ADFE stanowi 2/7 pola trójkąta ABC.