Łukasz M 99 wyśw.
14-04-2026 12:01
Matura próbna październik 2025 zadanie 6
Czy to zadanie rozwiązane w ten sposób da mi max pkt? Nauczycielka powiedziała, że nie udowodniłem podanej tezy w treści zadania i miałbym wyzerowane. Jeśli tak, to jak rozwiązać to aby otrzymać max pkt?
#maturapróbna Dodaj post do ulubionych Poproś o pomoc
Kliknij tutaj, aby dodać nowy komentarz.
Zaloguj się lub zarejestruj, by móc dodawać komentarze.
jarosinski
16-04-2026 18:08
- 0
- Zaloguj się lub zarejestruj, by móc oceniać komentarze.
- Dodaj do ulubionych
Poprawne rozwiązanie powinno wyglądać tak:
W trójkącie ABC bok AB ma długość b i leży naprzeciw kąta ACB, czyli kąta o mierze alpha.
Z twierdzenia sinusów dla trójkąta opisanego na okręgu o promieniu R mamy:
b / sin alpha = 2R
Stąd:
b = 2R sin alpha
Teraz pokażemy, że prawa strona z tezy też jest równa 2R sin alpha.
Korzystamy ze wzoru na sinus potrójnego kąta:
sin 3alpha = 3 sin alpha - 4 sin^3 alpha
Zatem:
3 sin alpha - sin 3alpha
= 3 sin alpha - (3 sin alpha - 4 sin^3 alpha)
= 4 sin^3 alpha
Podstawiamy to do wyrażenia pod pierwiastkiem:
(3 sin alpha - sin 3alpha) / sin alpha
= 4 sin^3 alpha / sin alpha
= 4 sin^2 alpha
Otrzymujemy więc:
R * pierwiastek z ((3 sin alpha - sin 3alpha) / sin alpha)
= R * pierwiastek z (4 sin^2 alpha)
Ponieważ alpha jest kątem wewnętrznym trójkąta, więc sin alpha > 0, a zatem:
pierwiastek z (4 sin^2 alpha) = 2 sin alpha
Czyli:
R * pierwiastek z ((3 sin alpha - sin 3alpha) / sin alpha)
= 2R sin alpha
A wcześniej wykazaliśmy, że:
b = 2R sin alpha
Zatem:
b = R * pierwiastek z ((3 sin alpha - sin 3alpha) / sin alpha)