Zad maturalne 2017.c.11

Zamień sinus na cosinus przez wzory redox 

3sin[x-(π/4)] +cos[x+(π/4)]=1

Możemy spróbować rozpisać sin i cos ze wzorów na sumę i różnice kątów.

3[sinxcos(π/4)-cosxsin(π/4)] +cosxcos(π/4) -sinxsin(π/4)=1

3[sinx(√2/2)-cosx(√2/2)]+cosx(√2/2)-sinx(√2/2)=1 

3sinx(√2/2)-3cosx(√2/2)+cosx(√2/2)-sinx(√2/2)=1

Wyciągamy √2/2 przed nawias.

√2/2(3sinx-3cosx+cosx-sinx)=1

Upraszczamy wyrażenie:

√2/2(2sinx-2cosx)=1

√2/2(2sinx-2cosx)=1 /•(2/√2)  obustronnie razy 2/√2

2sinx-2cosx=2/√2 ( usuwamy niewymierność z mianownika mnożąc razy √2/√2)

2sinx-2cosx=√2  /:2

sinx-cosx=√2/2 ( zamieniamy cosx na sin(π/2-x) ze wzorów redukcyjnych.

sinx-sin(π/2-x)=√2/2 następnie korzystamy ze wzoru na różnice dwóch sinusów 

2cos(π/4)sin(x-π/4)=√2/2

2•(√2/2)sin(x-π/4)=√2/2

√2sin(x-π/4)=√2/2   /:√2

sin(x-π/4)=½

Sprawdzamy kiedy sin jest równy ½.

x-π/4=π/6+2kπ 

v(lub)

x-π/4=5π/6+2kπ, k należy do Z

x=5π/12+2kπ

v x=13π/12 +2kπ, k należy do Z

Dla k=0 z pierwszego wzoru mamy x=5π/12 co mieści się w przedziale <0,2π>, a z drugiego wzoru otrzymujemy x=13π/12 co również należy do podanego przedziału. 

dla k=1 i k=-1 z pierwszego oraz drugiego wzoru wyniki wypadają poza podany przedział.

Odp. Zatem x należą do {5π/12, 13π/12}.